Curso sobre Teoría de la Medida e Integración según Lebesgue

Organizado por el Departamento de Materias Básicas de la Universidad Nacional Tecnológica, regional Concordia, se llevará a cabo un curso abierto y gratuito sobre Medida e Integral de Lebesgue.

Dicha teoría es una generalización de la integración según Riemann y Darboux estudiada en los cursos de Análisis y está estrechamente ligada a la Teoría de Conjuntos, al Análisis, a la Probabilidad y a la Geometría. Por lo tanto su estudio permitirá debates muy enriquecedores sobre estos tópicos y sus relaciones.
Se comenzará profundizando en la integral de Riemann, conocida por los participantes, en algunos aspectos que no se dan en los cursos de Análisis como el la convergencia de las integrales de una las funciones de una sucesión de funciones a la integral de la función límite, y la caracterización de las funciones integrables.
Luego se pasará a la definición de medida y se verá las diferentes nociones que generaliza.
Finalmente, se verá la integral de Lebesgue y sus propiedades.

Inscripción

La inscripción se realiza el primer día del curso en el horario propuesto (viernes 19 de agosto de 13 a 15).
El curso es abierto y está destinado a todo aquel que desee estudiar!!... el único requisito es tener conocimiento sobre Integrales de Riemann, que es el tema desde el que se inicia. Por ende, en nuestra carrera está destinado a alumnos de 3° y 4° año y para los profesores.
Además, por ser un curso abierto no es requisito ser docente o alumno de la UTN.
Por otro lado el curso es gratuito, así que todos tienen la posibilidad de asistir y no perderse esta gran oportunidad.

Cronograma tentativo

Se proponen sesiones quincenales de dos horas a realizarse de 13 a 15hs,
los viernes 19 y 26 de agosto,
9, 16 y 30 de septiembre,
7, 21 y 28 de octubre,
4 y 18 de noviembre,
2 y 9 de diciembre de 2011.

Sumando en total 24 horas de aula a cargo del Magíster en Matemática Federico Dalmao, a
éstas se agregarán 8 horas aproximadamente a cargo del Dr en Matemáticas Ernesto Mordecki
en fecha a confirmar.

Temario

1. Introducción: (de una a dos semanas) integral de Riemann y longitudes, áreas, volúmenes longitud de curva, área de superficies, algún otro ejemplo como el volumen de la esfera n-dimensional (a modo de ejemplo, sin detalles técnicos).
Hablar un poco de la idea de medida como longitud, área, también hablar de densidad de masa o carga y de que integrando se obtiene la masa o carga de una región, etc. Integrales de Riemann-Stieltjes.
2. Complemento sobre la Integral de Riemann: (una semana) teorema: f es R-integrable si los puntos de discontinuidad tienen contenido 0. teoremas de intercambio de límite e integral. primitivas y teorema fundamental.
3. Medida: (de dos a tres semanas) conjuntos (ejemplo de Borel de cubrimiento de los racionales, Cantor, no medible). Medida. Construcción-extensión. Medidas de Borel y distribuciones (probabilidad).
4. Integración: (de tres a cuatro semanas) S+,L+,L1 Teoremas de intercambios, etc.

Además, si sobra el tiempo se podrán ver algunas cosas más como el teorema de Radon-Nykodim, o algo de la más particular en Rn como los teoremas de diferenciación, o algo de dualidad.

La Blibliografía será entregada en forma digital a los concurrentes.